Selbständiges Nacharbeiten der Vorlesungsmitschrift und Studium der angegebenen Literatur.
Durch Lösen von Übungsaufgaben wird das vermittelte Wissen gefestigt und praktisch umgesetzt.
Die Studierenden werden mit grundlegenden Aussagen der Funktionentheorie vertraut gemacht; lernen, wie man komplexe Funktionen in Taylor- bzw. Laurent-Reihen entwickelt, wie man die Umlaufzahl bestimmt und wie man Integrale mit Hilfe des Residuensatzes berechnet. Komplexe Differenzierbarkeit, Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen; komplexe Potenzreihen und ihre komplexe Differenzierbarkeit; Wegintegrale und ihre Eigenschaften, Zyklen und Stammfunktionen; Zusammenhang, Gebiete, sternförmige Mengen; Lemma von Goursat und Cauchyscher Integralsatz; Mittelwertgleichung und Fundamentalsatz der Algebra; Cauchysche Integralformel, Entwicklung holomorpher Funktionen in Potenzreihen, Satz von Liouville, Identitätssatz; Isolierte Singularitäten, Umlaufzahl und ihre Eigenschaften, Laurentreihen und Residuen; Allgemeiner Residuensatz und Berechnung von uneigentlichen Riemann-Integralen; konforme Abbildungen, Riemannsche Zahlenkugel
Die Vorlesung wird nur für den Bachelor-Studiengang angeboten.

Selbständiges Nacharbeiten der Vorlesungsmitschrift sowie begleitendes Literaturstudium. Durch das Lösen von Übungsaufgaben und das Erstellen von Programmen zur Lösung der Programmieraufgaben werden die Vorlesungsinhalte gefestigt. Die Studierenden stellen die Ergebnisse in der Übungsgruppe vor und erlernen damit die Fertigkeiten der Kommunikation mathematischer Sachverhalte.
Basiswissen über die numerische Lösung von Anfangswertproblemen gewöhnlicher Differentialgleichungen und Fähigkeit zur Implementierung solcher Verfahren auf einem Computer. Analytisches Hintergrundwissen zu den Methoden zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen, um die Aspekte der Verfahrenswahl, deren Effizienz und Stabilität kritisch beurteilen zu können. Grundverständnis für numerische Verfahren zur Lösung partieller Differentialgleichungen mittels Finiter Differenzen und Finite Elemente für das elliptische Randwertproblem. Einschrittverfahren zur Lösung von Anfangswertproblemen gewöhnlicher Differentialgleichungen (Konvergenztheorie, Fehlerschätzung, Extrapolation). Mehrschrittverfahren (Adams-Bashforth, Adams-Moulton), Prädiktor-Korrektormethoden, Gear-Verfahren. Steife Differentialgleichungen und differential-algebraische Gleichungen. Zweipunktrandwertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen. Einführung in numerische Lösungsverfahren für Randwertprobleme partieller Differentialgleichungen (Grundkonzepte der Methode der Finiten Differenzen und der Finite-Elemente-Methode)
Die Vorlesung wird für den Bachelor-Studiengang angeboten und ist auch für die Diplomstudiengänge und das Lehramt an Gymnasien als Spezialvorlesung im Hauptstudium geeignet.

Elementare Methoden zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung, vor allem explizite Methoden, mit denen sich die Lösung berechnen läßt. Wichtige Eigenschaften der Lösung, wie z.B. die Existenz, Eindeutigkeit und das Maximumprinzip. Anwendungen auf Mechanik und Wärmetheorie. Die folgenden Typen von Gleichungen werden untersucht: die Wellengleichung, die Laplace- und Poisson-Gleichungen und die Wärmeleitungsgleichung.
Literatur:
H.F.Weinberger: A First Course in Partial Differential Equations, Dover, New York

Wavelets sind spezielle Funktionen, aus denen durch Dilatation, Translation und geeignete Skalierung Basen für verschiedene Funktionenräume generiert werden können. In dieser Vorlesung sollen die Konstruktion von Wavelet-Basen und deren grundlegende analytische Eigenschaften diskutiert werden. Durch ihre Lokalität, Regularität und verschwindenden Momente gestatten Wavelets eine komprimierbare Darstellung einer großen Klasse von Funktionen und Operatoren. Neben dem Einsatz als rein mathematisches Werkzeug werden hierdurch Anwendungen in der Signal- und Bildanalyse ermöglicht, aber auch bei numerischen Fragestellungen wie etwa der effizienten Lösung von Differential- und Integralgleichungen sowie bei Rekonstruktionsaufgaben.
Literatur:
C. Chui, An Introduction to Wavelets, Academic Press, Boston, 1992
A. Cohen, Numerical Analysis of Wavelet Methods, North-Holland, Amsterdam, 2003
I. Daubechies, Ten Lectures on Wavelets, SIAM, Philadelphia, 1992
P. Wojtaszczyk, A Mathematical Introduction to Wavelets, Cambridge University Press, 1997
sowie weitere Originalarbeiten, ein Skript ist geplant

In diesem Seminar geht es um numerische Verfahren zur Lösung unterbestimmter linearer Gleichungssysteme Ax=b mit möglichst wenigen nichttrivialen Einträgen von x. Derartige Probleme treten bei verschiedenen praktischen Fragestellungen auf, z.B. bei Datenkompression, Entrauschung, Parameteridentifikations- oder Separationsaufgaben. Für allgemeine Systemmatrizen A ist das Originalproblem NP-hart, d.h. es existieren keine Lösungsverfahren mit in dim(x) polynomieller Laufzeit. Unter gewissen Zusatzannahmen an A und x lässt sich jedoch ein äquivalentes konvexes Minimierungsproblem angeben, das effiziente Rekonstruktionsverfahren erlaubt. Neben dem direkten Einsatz von Optimierungsmethoden diskutieren wir verschiedene numerische Verfahren wie etwa Matching Pursuit, iteratives Shrinkage oder halbglatte Newton-Verfahren.
Literatur:
A. M. Bruckstein, D. L. Donoho und M. Elad, From Sparse Solutions of Systems of Equations to Sparse Modeling of Signals and Images, SIAM Rev. 51 (2009), no. 1, 34-81
sowie verschiedene darauf aufbauende Originalarbeiten

Die Intervallrechnung dient dem Nachweis und der Einschließung von Lösungen mathematischer Aufgabenstellungen. Hierzu gehören lineare und nichtlineare Gleichungssysteme, Eigenwertprobleme sowie Anfangswertprobleme bei Differenzialgleichungen. Grundlage der Intervallrechnung bilden kompakte Intervalle, eine Intervallarithmetik sowie Intervallstandardfunktionen. Da der erwähnte Lösungsnachweis und die Schrankenkonstruktion weitgehend automatisiert unter Einsatz eines Computers erzielt werden sollen, sind Hilfsmittel wie Nullstellensätze, Fixpunktsätze sowie eine geeignete Maschinenintervallarithmetik unerlässlich.

Selbständiges Nacharbeiten der Vorlesungsmitschrift und Studium weiterer Literatur. Durch Lösen von Übungsaufgaben wird das vermittelte Wissen gefestigt und praktisch umgesetzt. Die Studierenden lernen wichtige algebraische Strukturen kennen, die geeignet sind, sowohl klassische Probleme zu lösen, aber auch vielfältige Anwendungen erlauben. Sie werden mit Existenzaussagen und Konstruktionsverfahren nebst Beweisen vertraut gemacht. Anwendungen werden vorgestellt und diskutiert. Gruppentheorie, Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen, symmetrische Gruppen, Satz von Sylow; Ringe, Faktorringe, Polynomringe, Ideale, Irreduzibilitätskriterien; Körper, Körpererweiterungen, Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal; Transzendenz von Π, endliche Körper, explizite Konstruktion, Rechnen in endlichen Körpern; Kreisteilungskörper und -polynome, Normalbasen in endlichen Körpern
Literatur:
G. Stroth, Algebra, de Gruyter, 1998

Selbständiges Nacharbeiten der Vorlesungsmitschrift und Studium weiterer Literatur. Durch Lösen von Übungsaufgaben wird das vermittelte Wissen gefestigt und praktisch umgesetzt. Die Studierenden lernen elementare Eigenschaften differenzierbarer Kurven und Flächen kennen. Anwendungen, insbesondere aus dem Gebiet der Computergrafik, werden vorgestellt und diskutiert. Differentielle Eigenschaften von Kurven im n-dimensionale euklidischen Raum, Hauptsatz der Kurventheorie. Lokale Flächentheorie im 3-dimensionalen euklidischen Raum, Krümmungsverhalten, Regelflächen, Minimalflächen. Innere Geometrie von Hyperflächen, Hauptsatz der lokalen Flächentheorie, Satz von Gauß-Bonnet

Selbstständiges Nacharbeiten der Vorlesungsmitschrift und Durcharbeiten weiterer Literatur. Durch Lösen von Übungsaufgaben wird das vermittelte Wissen gefestigt und praktisch umgesetzt.

Die Studierenden lernen Grundprinzipien und Verfahren der ganzzahligen linearen Optimierung; erwerben Fähigkeiten zur Modellierung praktischer Probleme als ganzzahlige Optimierungsprobleme; werden mit wichtigen Beweismethoden für die Ganzzahligkeit sowie mit den Beziehungen zur Geometrie vertraut gemacht.
Polyedertheorie: konvexe Polyeder und polyedrische Kegel, Seitenflächen, Struktur und Darstellungssätze; Ganzzahlige Polyeder: ganzzahlige optimale Lösungen bei der Simplexmethode, total unimodulare Matrizen, N etzwerkmatrizen, total balancierte Matrizen; Ganzzahlige lineare Optimierung: Modellierung und Beispiele, Branch- and Bound-Verfahren, gültige Ungleichungen, Schnittebenen- und Branch- and Cut-Verfahren, Lagrange-Relaxation; Gree-dy-Algorithmen: Greedy-Algorithmen und Matroide, Charakterisierung von Matroiden, der Greedy-Algorithmus als Approximationsverfahren; Heuristiken: Suchverfahren, Simulated Annealing, Genetische Algorithmen; Grundlagen der Komplexitätstheorie: deterministische und nichtdeterministische Polynomial-Zeit-Algorithmen, die Klassen, P, NP und CoNP, NP-vollständige Probleme, Beispiele für Reduktionen

Selbständiges Nacharbeiten der Vorlesungsmitschrift und Studium weiterer Literatur. Durch Lösen von Übungsaufgaben wird das vermittelte Wissen gefestigt und praktisch umgesetzt. Die Studierenden lernen Grundprinzipien der Theorien der fehlererkennenden und fehlerkorrigierenden Codes kennen. Sie werden mit Existenzaussagen und Konstruktionsverfahren nebst Beweisen vertraut gemacht. Vielfältige Anwendungen werden vorgestellt und diskutiert.
Codes dienen dazu, bei der Übertragung von Nachrichten über gestörte Kanäle (z.B. Telefonleitungen, Funkverbindungen, Speichermedien wie CD´s) auftretende Fehler zu korrigieren oder zumindest zu entdecken. Ferner spielen sie bei der Datenkompression und der Kryptologie eine wichtige Rolle. Es gibt enge Verbindungen zur Designtheorie und zu endlichen Geometrien. Grundlagen, Shannon´s Satz, Prüfzeichencodierungen, Lineare Codes, Schranken für Codes, Zyklische Codes, BCH-Codes, Reed-Solomon-Codes, Codes und Designs, Bestimmung aller perfekten binären Codes

Selbständiges Nacharbeiten der Vorlesungsmitschrift und Studium weiterer Literatur. Durch Lösen von Übungsaufgaben wird das vermittelte Wissen gefestigt und praktisch umgesetzt.
Die Studierenden lernen Begriffe, Sätze und Beweismethoden kennen, die zeigen, wie die Allgemeine Algebra als übergreifende Theorie der algebraischen Einzeldisziplinen wirkt. In Form von Beispielen zu den Sätzen der Allgemeinen Algebra werden sie u.a. mit wichtigen Teilen der Gruppen- und Ring-Theorie sowie der Theorie der Booleschen Algebren vertraut gemacht. Sie erwerben Fähigkeiten im Abstrahieren und im fächerübergreifenden Denken. Bereits erworbene Kenntnisse auf dem Gebiet der klassischen Algebra werden vertieft und sie werden an moderne Algebra herangeführt.
Grundbegriffe der Allgemeinen Algebra; Verbände: zwei Definitionen eines Verbandes, grundlegende Eigenschaften von Verbänden, distributive und modulare Verbände, vollständige Verbände; Hüllensysteme und Hüllenoperatoren; Anwendungen in der Formalen Begriffsanalyse; Homomorphismen, Isomorphismen, Kongruenzrelationen und Faktoralgebren; der allgemeine Homomorphiesatz, spezielle Homomorphiesätze (z.B. für Gruppen, Ringe, Verbände und Boolesche Algebren); Isomorphiesätze; Galois-Verbindungen; Direkte und subdirekte Produkte von Algebren, direkt irreduzible und subdirekt irreduzible Algebren; Irreduzibilitätskriterien für Algebren mit Anwendungen (z.B. der Stonesche Darstellungssatz für Boolesche Algebren)

Selbständiges Nacharbeiten der Vorlesungsmitschrift und Studium weiterer Literatur. Durch selbständiges Lösen von Übungsaufgaben und schriftliche Darstellung der Lösungswege wird das vermittelte Wissen gefestigt und praktisch umgesetzt. Die Studierenden erlernen die Systematik der wichtigsten grundlegenden Modelle, Untersuchungsobjekte, Anzahlformeln und Identitäten der Abzählenden Kombinatorik. Sie werden mit den wichtigsten grundlegenden kombinatorischen Abzählmethoden vertraut gemacht. Sie erwerben Fähigkeiten zur Anwendung der erlernten Modelle und Verfahren auf kombinatorische Abzählprobleme und analoge Probleme der elementaren Wahrscheinlichkeitstheorie.
Abzählformeln: Kombinatorische Grundformeln und Zählkoeffizienten, 12-Felder-Tabelle Abzählmethoden: Bijektives Abzählen, Doppeltes Abzählen, Prinzip Inklusion-Exklusion Rekursionen: Grundlagen & Beispiele, Lineare Rekursionen 1. und höherer Ordnung, Anwendung Erzeugender Funktionen

Die grundlegende Idee der probabilistischen Methode ist, die Existenz eines Objektes mit bestimmten Eigenschaften daraus zu schließen, daß ein passend konstruiertes Zufallsexperiment mit positiver Wahrscheinlichkeit gerade ein solches Objekt liefert. Diese Methode wird seit den 40er Jahren mit großem Erfolg in so unterschiedlichen Gebieten wie Kombinatorik, Graphentheorie, Zahlentheorie, Geometrie, Analysis und Numerik angewendet. Ziel dieser Vorlesung ist es, die vielfältigen Anwendungen der Methode an Beispielen aus der Kombinatorik zu demonstrieren.

Die Vorlesung zielt darauf ab, abstrakte Beweise einiger Sätze aus der additiven Zahlentheorie, die ursprünglich allesamt rein kombinatorisch gezeigt worden sind, kennenzulernen. Im ersten Teil wird ein Wiederkehrsatz der topologischen Dynamik vorgestellt, aus dem sich sofort der nach van der Waerden benannte Satz ergibt, danach es bei jeder Färbung der natürlichen Zahlen mit endlich vielen Farben beliebig lange monochromatische arithmetische Folgen geben muss. Der kompliziertere zweite Teil der Vorlesung dreht sich um einen äußerlich ähnlich aussehenden Satz ergodentheoretischen Charakters, der unmittelbar ein sehr tiefes Resultat von Szemerédi impliziert: Jede Teilmenge der natürlichen Zahlen von "positiver oberer Dichte" enthält beliebig lange arithmetische Folgen.
Vorkenntnisse:
Es genügt zu wissen, was eine Gruppe, ein topologischer Raum und ein Maßraum sind.
Es besteht die Möglichkeit, einen Teilnahmeschein zu erwerben.

Die Vorlesung und Übung sind für Lehramtsstudiengänge mit der Fachkopplung Mathematik und die Inhalte beziehen sich u.a. auf den Schulstoff. Es werden die mathematischen Grundlagen für die Abbildung räumlicher Objekte auf eine Ebene behandelt und angewendet bei Konsultationen in Ein-, Zwei- und Mehrtafelprojektion sowie axonometrische Verfahren (orthogonale und schiefe Parallelprojektion). In den Übungen werden vorwiegend Konstruktionsaufgaben gelöst.
Literatur:
Schröder: Darstellende Geometrie (Studienbücherei für Lehrer)
Fucke/Kirch/Nickel: Darstellende Geometrie (für Ingenieure)

Ziel des Seminars ist die Befähigung der Studenten zur Lösung vorhandener und Erstellung eigener Mathematikaufgaben, die der Förderung begabter Schüler dienen.
Inhalt des Seminars ist die Behandlung von Teilen der entsprechenden mathematischen Theorien und das Training von Lösungsstrategien für Aufgaben.

Selbständiges Nacharbeiten der Vorlesungsmitschrift sowie begleitendes Literaturstudium. In den Übungen werden die Studierenden angeleitet, durch Lösen von Übungsaufgaben das vermittelte Wissen zu festigen und selbständig einzusetzen. Durch Präsentation ihrer Lösungen sollen sie fachbezogene Kommunikationsfertigkeiten trainieren.
Die Studierenden begreifen die Versicherungsmathematik als Teil der interdisziplinären Versicherungswissenschaft. Die Studierenden verstehen den Begriff "Risiko"; sie sind in der Lage, Risiken nach Typen zu klassifizieren und begreifen Risikomanagement als zentrales Anliegen des Aktuars. Darüber hinaus lernen Sie, Einzelrisiken und Portefeuilles von Risiken zu modellieren. Die Studierenden lernen den sicheren Umgang mit aktuariellen Grundkonzepten der individuellen Personenversicherung (Barwert, Äquivalenzprämie, Deckungskapital, Verlust) am Beispiel der Lebensversicherung und verstehen die Verknüpfung von mathematischen Strukturen und versicherungsfachlichen Sachverhalten.
Versicherungsmathematik: Teil der Versicherungswissenschaft; Elementare (deterministische) Finanzmathematik; Stochastische Modelle individueller Risiken in der Personenversicherung (statisch, ohne stochastische Prozesse); Gesamtschadensmodelle der Risikotheorie (statisch, ohne stochastische Prozesse); Rechnungsgrundlagen in der Lebensversicherung; Versicherungsleistungen und Barwerte in der Lebensversicherung; Prämien in der Lebensver-sicherung; Das Deckungskapital bei Versicherung eines unter einem Risiko stehenden Lebens; Der Gesamtschaden aus einem Lebensversicherungsportefeuille.

Selbständiges Nacharbeiten der Vorlesungsmitschrift und Studium der angegebenen Literatur, Die Studierenden bearbeiten Übungsaufgaben zu Hause, geben ihre schriftlichen Lösungen ab und tragen diese in der Übungsstunde vor. Verständnis der Grundprobleme und Ansätze der nichtparametrischen Statistik, Beherrschung der Anwendung von nichtparametrischen Verfahren und Methoden, Kenntnisse der asymptotischen Theorie für diese Verfahren und der Beweisideen Schätzung von Kurven ohne Bauartsannahmen durch empirische Daten (Dichteschätzung, nichtparametrische Regressionsschätzung) , Kernschätzer, Orthogonalreihenschätzer, lokal polynomiale Schätzer, allgemeine Konsistenzresultate, optimale Konvergenzraten unter Glattheitsannahmen, adaptive Bandbreitenwahl Voraussetzungen für die Teilnahme am Modul: gute Kenntnisse in den Grundvorlesungen über Analysis und lineare Algebra sowie auf dem Gebiet der Stochastik, wie sie etwa in den Vorlesungen "Stochastik" und "Wahrscheinlichkeitstheorie und Mathematische Statistik" vermittelt werden. Prüfungsvorleistungen: regelmäßige Anwesenheit in den Vorlesungen und Übungen, schriftliche Abgabe der Lösungen von mindestens 50 % der Übungsaufgaben mit ausreichendem Erfolg, Vortragen der Lösungen von mindestens zwei Übungsaufgaben mit ausreichendem Erfolg Art und Umfang der Prüfung: mündliche Prüfung von ca. 20 min Dauer Die Vorlesung wird für den BA Mathematik und Master Wirtschaftsmathematik angeboten und ist auch für die auslaufenden Diplomstudiengänge geeignet.

Selbständiges Nacharbeiten der Vorlesungsmitschrift und Studium der angegebenen Literatur. Die Studierenden werden hier angeleitet, durch Lösen von Übungsaufgaben das vermittelte Wissen zu festigen und praktisch umzusetzen. Die Studierenden erwerben folgende Kompetenzen: sie verstehen den Weg vom ökonomischen zum ökonometrischen Modell;sie beherrschen ökonometrische Modelle; sie können ökonometrische Modelle bedarfsgerecht abwandeln; sie können auf Verletzungen von Modellvoraussetzungen reagieren Analyse ein- und mehrstufiger Merkmale, Lineares Modell, Gauß-Markov-Theorem, Regressionsanalyse, Varianzanalyse Die Vorlesung wird für den BA Mathematik und Master Wirtschaftsmathematik angeboten und ist auch für die auslaufenden Diplomstudiengänge geeignet.

Befähigung zur sicheren Beherrschung der fachlichen Inhalte des regulären Schulstoffes zur elementaren und analytischen Geometrie durch - Auseinandersetzung mit inhaltlichen und formalen Aspekten grundlegender Begriffe: Selbständiges Lösen interessanter und anspruchsvoller Aufgaben; Beschäftigen mit verschiedenen Methoden zum Lösen von Aufgaben; Aneignung von Kenntnissen zur Ideengeschichte der Disziplinen; Historische Entwicklung der Geometrie als Theoriegeschichte; Inhaltliche und formale Aspekte geometrischer Begriffe; Methoden zum Finden und Beweisen geometrischer Sätze; Methoden zum Lösen geometrischer Konstruktionsaufgaben; Möglichkeiten zur Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens; Leitideen und Mathematisierungsmuster der analytischen Geometrie; Projekte im Geometrieunterricht (Vermessungen im Gelände, Bau einer Sonnenuhr, Anwendungen der Ähnlichkeit)
Literatur:
Enzyklopädie der Elementarmathematik, Bd. IV und V
Tietze, U.; Wolpers, H.: Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II, Bd. 2,
Didaktik der Analytischen Geometrie und linearen Algebra, Vieweg, 2000

Befähigung der Studenten zur Nutzung von Unterrichtsmitteln im Mathematikunterricht der Klassen 5 bis 10 in typischen Unterrichtssituationen. Es werden Merkmale geeigneter Unterrichtsmittel für den Mathematikunterricht herausgearbeitet. Konkrete Techniken wie die Tafelarbeit, die Erstellung von Arbeitsblättern und Folien werden erläutert und in Übungen trainiert. Die Beispiele beziehen sich auf alle mathematischen Inhalte, die in den Klassen 5 bis 10 behandelt werden. Es werden unterschiedliche Sozialformen berücksichtigt.