Inhalt: Es werden spezielle Fragestellungen aus der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen wie z.B. Fragen der Stabilität untersucht. Gegenstand des Seminars sind aber auch unterschiedliche Anwendungen in Naturwissenschaft und Technik.

Literatur:
M. Braun: Differentialgleichungen und ihre Anwendungen, Springer-Verlag
H. Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Teubner-Verlag

Inhalt: Elementare Methoden zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung, vor allem explizite Methoden, mit denen sich die Lösung berechnen läßt. Wichtige Eigenschaften der Lösung, wie z.B. die Existenz, Eindeutigkeit und das Maximumprinzip. Anwendungen auf Mechanik und Wärmetheorie.
Die folgenden Typen von Gleichungen werden untersucht:

• die Wellengleichung,
• die Laplace- und Poisson-Gleichungen und
• die Wärmeleitungsgleichung.

Literatur:
H.F.Weinberger: A First Course in Partial Differential Equations, Dover, New York

Bemerkung: Die Vorlesung ist geeignet für die Diplomstudiengänge des Instituts für Mathematik, Studenten der Ingenieurwissenschaftlichen Fakultät und den Studiengang Computational Engineering.

Inhalt: In der Vorlesung werden verschiedene Typen von linearen Integralgleichungen (Fredholmsche Integralgleichungen 1. und 2. Art, Volterrasche Integralgleichungen) im ein- und teilweise auch im mehrdimensionalen Fall behandelt. Dabei werden auch Anwendungen auf Differentialgleichungen betrachtet. Gegenstand der Vorlesung sind außerdem singuläre und nichtlineare Integralgleichungen.

Literatur:

1. H. W. Engl, Integralgleichungen, Springer 1997
2. R. P. Kanwal, Linear Integral Equations. Theory and Techniques, Birkhäuser 1997
3. J. Kondo, Integral Equations, Clarendon Press Oxford 1991
4. R. Kress, Linear Integral Equations, Springer 1989

Bemerkung: Lehrveranstaltung geeignet für die Studiengänge Mathematik-Diplom, Wirtschaftsmathematik, Technomathematik und Physik-Diplom. Voraussetzung sind Grundkenntnisse in der Funktionalanalysis und gewöhnliche Differential-gleichungen.

Inhalt: Viele räumlich homogene zeitabhängige Prozesse in Natur und Technik lassen sich durch deterministische Modelle mit autonomen gewöhnlichen Differentialgleichungssystemen mathematisch modellieren, wodurch ihre wesentlichen qualitativen Eigenschaften zu beschreiben und vorherzusagen sind. In der Vorlesung wird zunächst eine vertiefte Theorie für gewöhnliche Differentialgleichungen vorgestellt. Danach werden mittels dieser vertieften Theorie die Analysis und Simulation zahlreicher konkreter Beispiele aus den Naturwissenschaften durchgeführt. Ferner wird die Methode für die Parameterschätzung vorgestellt. Inhalt der Vorlesung sind die folgenden Aspekte:

• Grundideen zur Modellbildung: Einige Beispiele
• Die vertiefte Theorie der Gewöhnlichen Differentialgleichungen (Stationäre Punkte und ihre Stabilität; Grenzzyklen; Bedingung Nagumos für Invarianz von Gebieten; Attraktoren; Chaos; Bifurkation, etc.)
• Analysis und Simulation einiger konkreter Anwendungsbeispiele (SIR- Epidemiemodell aus der Medizin; Räuber-Beute-Modell (Lotka-Volterra-Modell) aus der Biologie; Field-Noyes-Modell aus der Chemie; van der Pol-Oszillationsmodell aus der Elektronik; etc.). Für die Simulation (numerische Behandlung) wird ein Computerprogramm wie Mathematica oder Maple eingesetzt.

Literatur:
M. Braun, Differentialgleichungen und ihre Anwendungen, Springer 1994.
J. Guckenheimer, P. Holmes, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Springer 1983.
J.D. Murray, Mathematical Biology, Springer 1993.

Bemerkung: Die Vorlesung ist für die Diplomstudiengänge Mathematik, Wirtschaftsmathematik und Technomathematik sowie Studiengänge Biologie, Chemie, Physik, Ingenieurwissenschaften und Demographie geeignet. Voraussetzung ist die Grundkenntnisse in Gewöhnlichen Differentialgleichungen.

Inhalt:
Im Proseminar "Unendliche Reihen" werden aufbauend auf den Kenntnissen aus der Analysis-Vorlesung unendliche Reihen, Potenzreihen und Limitierungsverfahren behandelt.
 
Das Proseminar "Trigonometrische Reihen" behandelt aufbauend auf den Kenntnissen der Analysis-Vorlesung Fourierreihen und deren Anwendungen.

Literatur:
Proseminar "Unendliche Reihen"
K. Knopp, Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, Springer-Verlag, Berlin, 1996.
H. Meschkowski, Unendliche Reihen, B.I.-Wissenschaftsverlag, Mannheim, 1982.
 
Proseminar "Trigonometrische Reihen"
G.M. Fichtenholz, Differential- und Integralrechnung III, Dt. Verlag d. Wissenschaften, Berlin, 1987.
H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 2, B.G. Teubner, Stuttgart, 2002.

Bemerkung: Das Proseminar ist Pflicht für die Studiengänge Mathematik-Diplom, Wirtschaftsmathematik und Technomathematik im 4. Semester.

Inhalt:

• Die Cantor-Drittelmenge und die Selbstähnlichkeit im strengen Sinne
• Dynamische Systeme
• Flächenfraktale
• Selbstähnlichkeit im weiten Sinne und Selbstaffinität
• Das Chaos im Newton-Verfahren
• Iteration von Matrixabbildungen
• Die fraktale Dimension
• Fraktale und der Goldene Schnitt

Literatur:

• Mandelbrot, Benoit B.: Die fraktale Geometrie der Natur / Benoit B. Mandelbrot. Berlin: Akad.-Verl., 1987
• Zeitler, Herbert: Fraktale Geometrie: eine Einführung. - Wiesbaden: Vieweg, 2000
• Zeitler, Herbert: Fraktale Geometrie zwischen Medizin und Kunst. - In: MNU 54(2001)3, S. 137 - 144
• Dirk Höltkemeier; Holger Kunz; Martin Mechelhoff, Marco Oetken: Bäume aus Metall - Fraktale im Chemieunterricht. - In : MNU 56(2003)3, S. 151 - 159
• Zeitler, Herbert: Theorie und Praxis bei Verzweigungen. – In: MNU 56(2003)5, S. 269 - 273

Bemerkung: Das Seminar ist geeignet für den Studiengang Lehramt am Gymnasium.

Inhalt: Gruppen treten als Automorphismen-Gruppen in vielen Gebieten der Mathematik auf. Als Symmetrie-Gruppen spielen sie auch in anderen Gebieten eine wichtige Rolle, z.B. in der Quantentheorie und in der Kristallographie. Eine klassische innermathematische Anwendung findet sich in der Galoistheorie zur Beschreibung von Nullstellen von Polynomen durch Radikale. Ebenfalls berühmt sind Anwendungen in der Geometrie ("Erlanger Programm" von Felix Klein) und in der Topologie ("Fundamental Gruppen"). Wegen ihrer Wichtigkeit sind zum Studium von Gruppen starke Methoden entwickelt worden, in erster Linie die Darstellungstheorie. Wir werden keine Ergebnisse beweisen, die Darstellungstheorie erfordern, wohl aber solche Ergebnisse erwähnen. Das Hauptgewicht der Vorlesung liegt auf endlichen Gruppen. Gliederung: Gruppen und Homomorphismen; Freie Gruppen; Endliche Gruppen und Sylowtheorie; Kompositionsreihen; Auflösbare und nilpotente Gruppen; Halltheorie; Einfache Gruppen.

Literatur:
D.Gorenstein Finite Groups, Harper & Row
B.Huppert Endliche Gruppen I; B.Huppert & N.Blackburn Finite Groups II, III , alle bei Springer
D.S.Passman, Permutation Groups, Benjamin
D.J.S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, Springer
A.Speiser, Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, Springer

Bemerkung: Vorkenntnisse: Lineare Algebra, Zorn'sches Lemma, elementare Eigenschaften von Körpern und Ringen Vorlesung geeignet für die Studiengänge Mathematik-Diplom, Wirtschaftsmathematik, Technomathematik und Lehramt an Gymnasien

Inhalt: Einführung in die algebraische Topologie, besonders die singuläre Homologietheorie.

Bemerkung: Voraussetzung sind Elementarkenntnisse der Topologie, bei Bedarf wird einiges wiederholt. Die Vorlesung ist auch für Studenten der Physik geeignet.

Inhalt: Die Vorlesung gibt eine Einführung in die Theorie der kommutativen und nicht-kommutativen Ringe und Moduln, die für die folgenden Vorlesungen über nicht-lineare Gleichungssysteme (kommutative Algebra) und Darstellungstheorie benötigt wird. Begonnen wird mit dem leichter zugänglichen kommutativen Teil (Ringe, Moduln, Ideale, Kettenbedingungen und Zerlegungssätze für Ideale). Der zweite Teil über nicht-kommutative Algebra befasst sich im wesentlichen mit den Grundlagen der Wedderburn-Artin Theorie zur Struktur halbeinfacher Ringe und den hierzu erforderlichen Begriffsbildungen (artinsche und noethersche Moduln, einfache und halbeinfache Moduln, projektive und injektive Moduln, Schiefkörper und Endomorphismenringe). Abgeschlossen wird die Vorlesung mit einem Abschnitt über das Jacobson-Radikal und das Lemma von Nakayama. Das Jacobson-Radikal ist sowohl für kommutative als auch nicht-kommutative Ringe bedeutsam. Die Theorie wird an zahlreichen Beispielen demonstriert. Übungsaufgaben werden begleitend zur Vorlesung gestellt.

Literatur:
D. Eisenbud; Commutative Algebra, Springer-Verlag, New York... 1994/96 (Graduate Texts in Mathematics 150)
G.-M. Greuel, G. Pfister; Singular, An Introduction to Commutative Algebra, Springer-Verlag, New York 2002
T.Y. Lam, A First Course in Noncommutative Rings, Springer 2001 (Graduate Texts in Mathematics 131)

Lehrziel: Die Zahlentheorie (nach Gauß die Königin der mathematischen Disziplinen) steht heute durch die Anwendung in der modernen Kryptologie (Onlinebanking, etc.) im Mittelpunkt des Interesses. Das Auffinden neuer, sehr großer Primzahlen und der Test von Zahlen, ob sie Primzahlen sind, ist nicht mehr nur ein interessantes und faszinierendes Problem, sondern hat eine neue Bedeutung wegen der aktuellen Anwendungen erlangt. Aber auch die Lösung des Fermatschen Problems nach über 350 Jahren hat nicht nur die Mathematikerwelt aufhorchen lassen. In der Vorlesung werden wesentliche Elemente der Zahlentheorie entwickelt, die sowohl die o.g. Anwendungen verständlicher machen, aber auch in der Schule bei der Förderung interessierten und talentierter Schülerinnen und Schüler gut eingesetzt werden können.

Inhalt:

1. Grundlagen
2. Der Restklassenring Z/mZ (Kongruenzrechnung)
3. Die Sätze von Fermat, Euler und Wilson
4. Public Key Kryptosysteme
5. Probabilistische Primzahltests
6. Die (p-1)-Faktorisierungs-Methode
7. Der Satz von Lagrange
8. Pythagoräische Zahlentripel
9. Der große Satz von Fermat für n=4 und n=3.

Bemerkung: Vorausgesetzt werden Kenntnisse aus dem Grundstudium (Lineare Algebra und Algebra).

Inhalt: Die Vorlesung bringt zunächst einen Aufbau der euklidischen Geometrie aus gewissen Grundannahmen, den Axiomen, z.B. solchen über Bewegungen (Kongruenzabbildungen) - speziell diese Axiome erhalten in Rücksicht auf die Schulgeometrie den Vorzug. Elementargeometrische Sätze werden bewiesen und innerhalb des Aufbaus positioniert, erwähnt sei ferner die verschiedentliche Behandlung von Maßzahlbestimmungen, zu welcher Methoden der Analysis vereinheitlichend beitragen.
Modelle für noch nicht vollständige Axiomensysteme (z.B. nicht archimedische) begleiten den Aufbau und unterstreichen die Sinnfälligkeit einzelner Forderungen. Den bekanntesten solchen Unabhängigkeitsbeweis (nämlich des Parallelaxioms) erbringt der Abschnitt über die hyperbolische Geometrie.
Die Historie der axiomatischen Geometrie von ihren Ursprüngen her durchzieht die Vorlesungen. Hierbei werden auch Fragen zur geometrischen Konstruierbarkeit beantwortet, mit Hilfe algebraischer Methoden und nunmehr in axiomatisch begründeten Ebenen. Aus den Vorlesungen und Übungen resultieren gefestigte Standpunkte zu Grundlagen und Wesen der Geometrie, ihren analytischen Modellen sowie dem Zusammengreifen mehrerer mathematischer Teilgebiete in dieser Disziplin.

Literatur:
Böhm, J. u.a., Geometrie I/II (1985n⁴/1975)
Hilbert, D., Grundlagen der Geometrie (1899, 1999n¹⁴)
Hartshorne, R., Geometry: Euclid and Beyond (2000)
Trudeau, R., Die geometrische Revolution (1998, engl. 1987)
Baldus, R./Löbell, F., Nichteuklidische Geometrie, Hyperbolische Geometrie der Ebene (1964n⁴)
Euklid, Die Elemente (ca. 300 v. Chr.; 1996)

Bemerkung: Kenntnisse in Lineare Algebra und analytische Geometrie, Analysis, algebraische Strukturen, Körpererweiterungen werden vorausgesetzt. Die Lehrveranstaltung ist für alle Lehrämter geeignet.

Inhalt: Die Vorlesung und Übung sind für Lehramtsstudiengänge mit der Fachkopplung Mathematik und die Inhalte beziehen sich u.a. auf den Schulstoff. Es werden die mathematischen Grundlagen für die Abbildung räumlicher Objekte auf eine Ebene behandelt und angewendet bei Konsultationen in Ein-, Zwei- und Mehrtafelprojektion sowie axonometrische Verfahren (orthogonale und schiefe Parallelprojektion). In den Übungen werden vorwiegend Konstruktionsaufgaben gelöst.

Literatur:
Schröder: Darstellende Geometrie (Studienbücherei für Lehrer)
Fucke/Kirch/Nickel: Darstellende Geometrie (für Ingenieure)

Bemerkung: Der Übungsschein kann durch Anfertigung von Belegen erworben werden. Für Lehramt an Gymnasien ist die Vorlesung nur anrechenbar in der Didaktik der Mathematik.

Inhalt:

• Kongruenzen
• quadratische Reziprozität
• Funktionen in der Zahlentheorie
• diophantische Gleichungen
• Kettenbrüche

Bemerkung: Das Seminar ist für die Lehrämter an Haupt- und Realschulen, Grund- und Hauptschulen und für Sonderpädagogik im Hauptstudium geeignet.

Inhalt:

1. Uniforme Räume
   • Definition und Eigenschaften
   • Cauchy-Filter
   • Beziehung zu topologischen bzw. metrischen Räumen, Konvergenz
   • Präkompaktheit, Vollständigkeit, Kompaktheit
2. Konvergenzräume
3. Topologische Kategorien
   • kategorielle Grundlagen
   • cartesische Abgeschlossenheit, topologische Universen
   • Semiuniforme Konvergenzräume
   • Multifilter-Räume

Bemerkung: Die Vorlesung ist für die Studiengänge Mathematik-Diplom, Wirtschaftsmathematik und Technomathematik geeignet.

Inhalt: In der Vorlesung werden klassische Verfahren der Numerischen Mathematik vorgestellt und analysiert. Behandelt werden unter anderem

Literatur:
J. Stoer, R. Bulirsch, Numerische Mathematik 1,2, Springer Verlag.
J. Werner, Numerische Mathematik 2, Vieweg Verlagsgesellschaft.
J. Demmel, Applied Numerical Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics.
G. Golub, C. van Loan, Matrix Computations, John Hopkins University Press.

Bemerkung: Die Vorlesung ist für die Diplomstudiengänge am Fachbereich Mathematik und das Lehramt an Gymnasien Fach Mathematik geeignet.
Zur Vorlesung gibt es eine begleitende Übung mit Programmierungsaufgaben.

Inhalt: Inhalt der Vorlesung sind numerische Methoden zur Lösung partieller Differentialgleichungen vorrangig für elliptische Differentialoperatoren aber auch für parabolische und hyperbolische Anfangsrandwertaufgaben. Bei den Diskretisierungsverfahren liegt der Schwerpunkt auf der Finite-Elemente-Methode. Mehrgittermethoden zur Lösung der auftretenden großen linearen Gleichungssysteme werden vorgestellt.

Literatur:
D. Braess, Finite Elemente, Springer, 2003.
C. Großmann, H.G. Roos, Numerik partieller Differentialgleichungen, Teubner, 1994.
W. Hackbusch, Theorie und Numerik elliptischer Differentialgleichungen, Teubner, 1997.
S. Larsson, V. Thomee, Partial differential equations with numerical methods, Springer, 2003.

Bemerkung: Die Vorlesung ist für die Diplomstudiengänge am Institut für Mathematik, das Lehramt an Gymnasien Fach Mathematik und den Studiengang Computational Engineering geeignet. Zur Vorlesung gibt es eine zweistündige Übung.

Inhalt: Im Mittelpunkt der Vorlesung stehen Methoden zur Approximation einer gegebenen stetigen Funktion durch algebraische/trigonometrische Polynome bzw. Splines. Diese Methoden sind gleichmäßige Approximation, orthogonale Projektion, Interpolation und Abtastung. Der Zusammenhang zwischen Approximationsgüte und Glattheit der gegebenen Funktion wird durch die Sätze von Jackson und Bernstein beschrieben.
Stichworte: Gleichmäßige Approximation, Polynome bester Approximation, Chebyshevsche Alternante, orthogonale Projektion, Fourier-Summe, Stetigkeitsmodul, Satz von Jackson, Satz von Bernstein, Spline-Approximation, Abtastsatz von Shannon.

Literatur:
R.A. DeVore, G.G. Lorentz, Constructive Approximation, Springer, Berlin, 1993.
P.L. Butzer, R.J. Nessel, Fourier Analysis and Approximation, Birkhäuser, Basel, 1971.
I.P. Natanson, Constructive Function Theory, Ungar, New York, 1965.

Bemerkung: Die Vorlesung ist für die Studiengänge Mathematik-Diplom, Wirtschafts- und Technomathematik, Lehramt am Gymnasium, Physik und Informatik geeignet. Der Teilnahmeschein ist anrechenbar auf die Fachprüfung zur Analysis, Numerik oder in der Nebenfachausbildung. Voraussetzung ist das Vordiplom.

Inhalt: Codes dienen dazu, bei der Übertragung von Nachrichten über gestörte Kanäle (z.B.Telefonleitungen, Funkverbindungen, Speichermedien wie CD´s) auftretende Fehler zu korrigieren oder zumindest zu entdecken. Ferner spielen sie bei der Datenkompression und der Kryptologie eine wichtige Rolle. Es gibt enge Verbindungen zur Designtheorie und zu endlichen Geometrien. Die Vorlesung gibt eine Einführung in die Codierungstheorie, wobei wesentliche Methoden vorgestellt werden.
Die Gliederung: Einführung und mathematischer Hintergrund, Shannon´s Satz, Lineare Codes, Schranken für Codes, Zyklische Codes, Codes und Designs, Codes und endliche Geometrien, Uniform gepackte Codes

Bemerkung: Grundkenntnisse in Algebra (endliche Körper) und Graphentheorie werden empfohlen. Der Übungsschein wird nach Übungsteilnahme und erfolgreich bestandenem Testat, anrechenbar sowohl für reine wie angewandte Mathematik, erteilt. Die Vorlesung ist für Studenten der Informatik geeignet.

Inhalt: In der Vorlesung werden die Grundlagen der linearen Optimierung und der Optimierung auf Graphen behandelt. Wesentlicher Gegenstand ist hierbei die Maximierung (Minimierung) einer linearen Zielfunktion c_1x_1+...+c_nx_n unter Nebenbedingungen der Form a_{i1}x_1+...+a_{in}x_n<=b_i, i=1,...,m und x_j>=0, j=1,...,n, bzw. die Suche nach speziellen Mengen von Kanten mit maximalem (minimalem) Gesamtgewicht innerhalb der Kantenmenge eines gegebenen Graphen. Ergänzend werden Grundlagen der Graphentheorie und der Codierungstheorie behandelt.

1. Problemstellung und graphische Lösung bei zwei Variablen
2. Basisdarstellungen,
3. Simplexmethode,
4. Dualität und Anwendung in der Spieltheorie,
5. Graphen und Di-Graphen,
6. Bäume,
7. Dynamische Optimierung zur Lösung kombinatorischer Probleme,
8. Hamming-Codes: Algebraische Lösungen eines speziellen kombinatorischen Problems

Literatur:

1. M. Aigner: Diskrete Mathematik, Vieweg, Wiesbaden, 1993.
2. I.M. Bomze, W. Großmann: Optimierung-Theorie und Algorithmen, BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim, 1993.
3. D. Jungnickel: Graphen, Netzwerke und Algorithmen. Bibliographisches Institut & Brockhaus AG, Mannheim, 1994.
4. E. Seiffart, K. Manteuffel: Lineare Optimierung. MINÖL, Teubner, Leipzig, 1991.

Bemerkung: Voraussetzung sind Kenntnisse in Linearer Algebra. Die Vorlesung ist als Spezialvorlesung auch für Studenten Technomathematik und der ingenieurwissenschaftlichen Fakultät geeignet.

Inhalt: Nachdem im Teil I der Vorlesung (in 6 Abschnitten) Grundbegriffe der Allgemeinen Algebra; Verbände; Hüllensysteme und Hüllenoperatoren; Homomorphismen, Kongruenzen, Faktoralgebren und Galois-Verbindungen, direkte und subdirekte Produkte sowie einige Eigenschaften von Körpern behandelt wurden, setzt Teil II der Vorlesung zunächst die Körpertheorie (Abschnitt 6) fort. Gezeigt wird anschließend, wie sich die erhaltenen Ergebnisse über endliche Körper in der Versuchsplanung und in der Codierungstheorie anwenden lassen. Im Abschnitt 7 über Galois-Theorie werden die Sätze von Abel und Galois über die Lösungsmöglichkeiten von Gleichungen durch Radikale hergeleitet sowie gezeigt, wie man mit Methoden der Algebra und gewissen Ergebnissen über Körpererweiterungen leicht zeigen kann, daß gewisse (aus der Antike stammende) Konstruktionsaufgaben mit Zirkel und Lineal nicht lösbar sind. Im Mittelpunkt von Abschnitt 8 stehen solche Teile der Allgemeinen Algebra, die sich zwar unter dem Einfluß der Mathematischen Logik entwickelten, jedoch von den Begriffsbildungen und Beweismethoden her eigenständige Resultate der Allgemeinen Algebra sind. Konkret geht es um Varietäten und gleichungsdefinierte Klassen, freie Algebren sowie eine Einführung in die Gleichungstheorie. Im Abschnitt 9 wird eine Einführung in die Theorie der Klone, die sowohl in der Theorie der endlichen allgemeinen Algebren als auch in den sogenannten mehrwertigen Logiken eine Rolle spielen, gegeben.

Literatur:

• T. Ihringer: Allgemeine Algebra. Stuttgart 1993
• S. Burris, H. P. Sankappanavar: A course in universal algebra. Springer-Verlag, New-York 1981
• R. Pöschel, L. A. Kaluznin: Funktionen- und Relationenalgebren. Berlin, Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1979
• J. Cigler: Körper - Ringe - Gleichungen. Heidelberg, Berlin, Oxford, Spektrum, Akad. Verl., 1995

Bemerkung: Die Vorlesung wird nicht nur für die Mathematik- sondern auch für die Informatik-Studenten mit dem Nebenfach Mathematik angeboten. Fortsetzung des Vorlesungszyklus über Allgemeine Algebra und Mathematische Logik im Wintersemester 2005/2006 und Sommersemester 2006 mit Mathematische Logik, I und II.

Inhalt: In der Vorlesung wird die Anwendung analytischer Methoden in der Abzählenden Kombinatorik an zwei grundlegenden Konzepten behandelt: Asymptotik (von Zählfunktionen) und Erzeugende Funktionen. Sie setzt damit die Vorlesung "Kombinatorik I" fort, deren Gegenstand die elementaren Abzählmethoden sind. Zusammen mit der verwandten, aber weitgehend unabhängigen Vorlesung "Kombinatorik II (Algebraische Methoden)" kann die gesamte Reihe als eine Grundlage für die Spezialisierung "Diskrete Mathematik" angesehen werden. Als wesentliche Schwerpunkte der beiden Kapitel werden reelle und komplexe Methoden zur asymptotischen Abschätzungen von Zählkoeffizienten sowie die Erzeugenden Funktionen von Rekursionen, STIRLING- und Partitionszahlen behandelt.

Bemerkung: Voraussetzung sind Grundkenntnisse der Analysis einschl. Funktionentheorie empfohlen: "Kombinatorik I"/ "Diskrete Mathematik". Die Lehrveranstaltung ist für die Studiengänge Mathematik-Diplom, Wirtschafts- und Technomathematik und das Lehramt an Gymnasien sowie für die Nebenfachausbildung von Informatikstudenten geeignet.

Inhalt: Die Lösung realistischer Probleme mittels mathematischer Methoden, insbesondere Untersuchungen mittels Computersimulation, erfordern fast ausnahmslos die Identifizierung von Modellparametern. Je nach Anwendung können dies etwa Materialkonstanten, äußere Einflussgrößen, Parameter unbekannter Verteilungen oder sonstige Werte sein, die einer direkten Beobachtung oder Messung nicht zugänglich sind. Parameteridentifikation bedeutet, mit Lösungen der Modellgleichungen vorhandene Daten möglichst gut zu approximieren. Dies erfordert in der Regel sowohl die Lösung nichtlinearer Gleichungen bzw. Minimierungsprobleme als auch die Lösung der eigentlichen Modellgleichungen. Wir beschränken uns auf Modelle, die über algebraische und/oder Differentialgleichungen definiert werden.

Literatur: Die Vorlesung basiert auf zahlreichen Quellen, ein Skript existiert nicht. Alle notwendigen Materialien werden parallel zur Vorlesung unter http://alf.math.uni-rostock.de/~kurt/tutor-ger.html veröffentlicht.

Bemerkung: Die Spezialvorlesung ist für alle Studenten geeignet, die sich im weitesten Sinne mit Modellierung befassen (müssen). Insbesondere Studenten der Mathematik (auch Stochastik), Naturwissenschaften und Ingenieurwissenschaften sind angesprochen, aber auch Ökonomen, speziell Volkswirte, könnten profitieren.

Inhalt: Ein typisches Problem in der extremalen Kombinatorik kann so formuliert werden: Wie groß (oder wie klein) kann eine Menge von bestimmten Objekten (Zahlen, Graphen, Vektoren, Mengen,...) werden, die gewissen gegebenen Restriktionen genügt? Zum Beispiel: In einer gegebenen Menge von ganzen Zahlen markiere man möglichst viele der Zahlen, wobei es verboten ist, zwei Zahlen und auch ihre Summe zu markieren. Es stellt sich heraus, dass man immer (egal welche Menge gegeben ist) mindestens ein Drittel der Zahlen markieren kann. Neben klassischen Methoden (Schubfachschluss, Inklusion-Exklusion, doppeltes Abzählen, Induktion etc.) werden auch moderne Anwendungen von wahrscheinlichkeitstheoretischen Argumenten und Methoden der Linearen Algebra behandelt.

Bemerkung: Geeignet für die Diplomstudiengänge des Instituts, sowie für Studierende der Informatik im Rahmen der Nebenfachausbildung, anrechenbar für Reine oder Angewandte Mathematik, Voraussetzung sind die Grundvorlesungen zur Diskreten Mathematik und Algebra.

Lehrziel: Das Proseminar behandelt ausgewählte mathematische Probleme aus verschiedenen Gebieten der Mathematik mit erstaunlich eleganten Lösungen. Viele dieser Probleme stammen aus Wettbewerben für Schülerinnen und Schüler auf höchstem Niveau. Die erworbenen Kenntnisse bereichern nicht nur die eigene Problemlösungskompetenz, sondern können auch später bei der Arbeit in der Schule eingesetzt werden.

Inhalt: Das u.g. Buch besteht aus 50 Kapiteln, von denen jedes ein Problem aus verschiedenen Gebieten der Mathematik (linaere Algebra, Algebra, Analysis, Geometrie, Zahlentheorie, Kombinatorik etc.) behandelt. Alle Probleme sind auch für Schülerinnen und Schüler der Gymnasialstufe zugänglich. Die oft schwierigen Probleme werden mit überraschend eleganten und in der Regel elementaren Lösungen behandelt. Jeder Vortrag (45 Min.) wird zu einem dieser Kapitel erarbeitet und gehalten. Die Aufteilung der Vorträge und die Übergabe der Literatur erfolgt im ersten Proseminar.

Literatur: S. Savchev, T. Andreescu; Mathematical miniatures, The Mathematical Association of America, Anneli Lax New Mathematical Library, Vol. 43, 2003

Bemerkung: Vorausgesetzt werden Kenntnisse aus dem Grundstudium (Algebra und Analysis). Das Seminar ist geeignet für Lehramtskandidaten der Gymnasialstufe.

Inhalt: Zu modellierende statistische (ökonometrische) Merkmale bzw. Zielvariable sind im Zeitalter von Datenflut und hochleistungsfähiger Rechentechnik oft mehrdimensional. Zu den natürlichen Verallgemeinerungen univariater statistischer Grundaufgaben zählen Schätzung und Prüfung von Erwartungsvektor und Kovarianzmatrix sowie die Durchführung von Regressions- und Varianzanalysen bei endlichdimensionalen Merkmalsvektoren. Dabei benutzt man u.a. Eigenschaften zufälliger Matrizen sowie mehrdimensionaler Prüfverteilungen (Student-, Wishart- und Hotellings T-Verteilung). In Anbetracht von zum Teil redundanter Datenlage, insbesondere durch hohe Merkmalsdimensionen, erhebt sich die Frage, ob für jedes beobachtete statistische Merkmal tatsächlich eine Raumdimension zur Widerspiegelung des Erwartungsvektors im Modellraum benötigt wird (Rang einer Verteilung), oder ob die Betrachtung geeigneter Unterräume kleinerer Dimension für praktische Zwecke ausreicht (Hauptkomponentenanalyse).

Bemerkung: Die Vorlesung ist für die Diplomstudiengänge Mathematik, Wirtschaftsmathematik und Technomathematik geeignet.

Lehrziel: In dem Seminar sollen spezielle Themen der Versicherungsmathematik auf mathematisch anspruchsvollem Niveau dargestellt werden.

Inhalt: Das Seminar besteht aus drei Teilen:

• Schadenversicherungsmathematik: Nach einer Vorbesprechung in der ersten Semesterwoche, bei der Vortragsthemen an Studierende vergeben werden, wird der Dozent während der Vorbereitungsphase der Vorträge über klassische Ruintheorie referieren.
• Berufspraktischer Teil : Anschließend finden zwei Vorträge von in der Praxis tätigen Versicherungsmathematikerinnen statt, bei denen über die Tätigkeit von Aktuaren in der Lebensversicherung und über Prämienkalkulation in der Allgemeinen Haftpflichtversicherung berichtet wird. Dieser Teil ist fachbereichsöffentlich und wird zusätzlich separat angekündigt.
• Lebensversicherung: Den Hauptteil des Seminares bilden bis zu acht studentische Vorträge nach dem Buch "Stochastische Modelle in der Lebensversicherung" von Michael Koller (2000).

Bemerkung: Voraussetzung sind Kenntnisse der Stochastik (Einführungsvorlesung, Wahrscheinlichkeitstheorie) und der Risikotheorie. Die Veranstaltung wird für Hörer aller drei Diplomstudiengänge des Institutes für Mathematik im Hauptstudium empfohlen.

Inhalt:

• Entwicklung des Stochastikunterrichts in der Schule
• Methoden der Explorativen Datenanalyse
• Formale und inhaltliche Aspekte der Begriffe Zufall und Wahrscheinlichkeit
• Methoden zur Lösung kombinatorischer Probleme und zum Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
• Zur Behandlung des Erwartungswertes
• Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit
• Grundlegende Begriffe und Methoden der Bayes-Statistik
• Denkweisen der beurteilenden Statistik am Beispiel der Bestimmung von Intervallen für Wahrscheinlichkeiten und der Bewertung von Hypothesen

Literatur:

• Kütting, H.: Elementare Stochastik. Heidelberg ; Berlin : Spektrum, Akad. Verl., 1999
• Wickmann, D.: Bayes-Statistik. Mannheim ; Wien ; Zürich : BI-Wiss.-Verl., 1990
• Borovcnik, M.: Stochastik im Wechselspiel von Intuition und Mathematik. Mannheim ; Leipzig ; Wien ; Zürich : BI-Wiss.-Verl., 1992
• Wolpers, H.; Götz, S.: Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II, Band 3, Didaktik der Stochastik / Hrsg: Tietze, U.-P.; Klika, M.; Wolpers, H. Braunschweig ; Wiesbaden : Vieweg, 2002

Bemerkung: Vorleistungen: Fachausbildung in Stochastik
Studiengang: alle Lehrämter, Fachsemester: ab 7. Semester

Inhalt: Die Vorlesung gibt einen (chronologisch angelegten) Grobüberblick über die Geschichte der Mathematik von ihren (gesicherten) Anfängen vor ca. 5000 Jahren bis zur Gegenwart. An ausgewählten Beispielen sollen dabei wesentliche Etappen in der Mathematikentwicklung und natürlich auch die Mathematiker, die diese Entwicklungen prägten, vorgestellt werden. Da die Vorlesung insbesondere für Lehramtskandidaten konzipiert wurde, wird in der Vorlesung auch ausführlich auf die Geschichte derjenigen Teile der Mathematik eingegangen, die in der Schulmathematik eine Rolle spielen.

Literatur: Literaturempfehlungen gibt es in der Vorlesung am Ende eines jeden größeren Abschnittes. Den Hörern der Vorlesung wird die Möglichkeit gegeben, sich Kopien von den in der Vorlesung eingesetzten Folien (mit vielen Beispielen und Übersichten) zu machen.